Расчетно-графическая работа

по сопротивлению материалов (теория упругости)

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА

Напряженное состояние в точке упругого тела задано его компонентами. Материал имеет коэффициент Пуассона  Определить:

1. Главные напряжения и проверить правильность их вычисления.

2. Положение главных площадок.

3. Главные деформации.

Задача 1. Плоское напряженное состояние.

Исходные данные в соответствии с индивидуальным шифром принять из табл. 1.

Таблица 1

Цифра варианта	I	II	III	IV
	Напряжения в МПа			МПа
0	60	100	30	1,2
1	80	- 140	40	2,0
2	- 20	60	- 50	1,4
3	30	- 40	60	1,6
4	- 80	120	70	2,1
5	40	90	- 80	2,2
6	100	- 80	90	1,6
7	120	130	- 60	2,1
8	50	- 120	100	1,8
9	130	110	- 70	2,2

Задача 2. Объемное напряженное состояние.

Исходные данные в соответствии с индивидуальным шифром принять из табл. 2.

Таблица 2

Цифра варианта	I		II		III				IV
	Напряжения в МПа								Е × 10^5, МПа
0	100	80		60		40	- 60	80	2,0
1	- 60	40		80		50	70	- 90	2,1
2	80	- 60		100		60	- 80	70	1,8
3	50	90		110		70	90	- 60	1,6
4	90	- 70		120		80	- 100	110	1,4
5	70	120		90		100	110	- 90	2,0
6	- 90	100		80		90	- 120	100	1,8
7	- 100	80		100		110	80	- 120	2,1
8	120	- 100		90		60	- 70	90	1,6
9	- 80	60		120		80	60	- 100	2,0

Методические указания

к выполнению расчетно-графической работы

«Исследование напряженно-деформированного состояния в точке»

Цель работы – исследовать напряженное состояние в произвольной точке твердого тела; показать понимание основ теории деформации.

1.Записать заданные компоненты напряженного состояния в виде тензора напряжений. Показать графически заданное напряженное состояние.

На рис.1 показаны положительные направления напряжений;  n – внешняя нормаль (здесь n  – греческая буква, читается «ню»).

Все напряжения показываются  в соответствии с правилом внешней нормали. Положительное нормальное напряжение совпадает по направлению с направлением внешней нормали к соответствующей грани параллелепипеда. Касательное напряжение действует параллельно  соответствующей координатной оси (по индексу j). При этом оно положительно (совпадает по направлению с положительным направлением соответствующей координатной оси), если внешняя нормаль к рассматриваемой грани совпадает с положительным направлением  перпендикулярной к этой грани координатной оси.

2. Определить главные напряжения. (Подробно нахождение главных напряжений представлено в практическом занятии.) Здесь кратко повторим некоторые моменты.

Для нахождения главных напряжений существует кубическое уравнение

где      – инварианты тензора напряжений.

Первый инвариант   

Второй инвариант   

Третий инвариант 

Заметим, что в литературе встречаются   разные способы решения кубического уравнения, можно использовать любой из них. Далее  предлагается один из возможных способов.  

При решении кубического уравнения (1)  используется замена переменных:

Тогда заданное кубическое уравнение (1) принимает вид

Из математики известно, что число действительных решений уравнения (2) зависит от знака дискриминанта  Если  то уравнение имеет три действительных различных корня:  Используем тригонометрический способ решения уравнения (2).

Для удобства вводится вспомогательный параметр

причем знак (плюс или минус) принимается в соответствии  со знаком величины q. Тогда можно рассматривать тригонометрические переменные:

Окончательно корни уравнения (2) находим по правилу

Проверкой найденного решения являются выполнение равенства

Возвращаясь к исходному уравнению (1), находим величины нормальных напряжений с учетом сделанной ранее подстановки:

Значения главных напряжений должны удовлетворять соотношению

  поэтому необходимо выполнить переобозначение найденных значений напряжений в соответствии с требуемым соотношением для главных напряжений. Должно выполняться  следующее:

Проверкой может служить вычисление инварианта тензора напряжений через найденные значения главных напряжений, именно:

При правильном решении значения инварианты тензора напряжений, вычисленные через заданные напряжения и через найденные главные напряжения, должны совпадать.

3. Определить положение главных площадок.

Ориентацию главной площадки определяет нормаль n, направляющие косинусы которой принято обозначать

Очевидно, определив значения l, m, n можно полагать известной положение соответствующей главной площадки.

Рассмотрим уравнения, связывающие компоненты данного напряженного состояния (действуют по площадкам, параллельным координатным плоскостям) с напряжениями, взятыми по наклонной площадке:

В формулах (3) , ,  – проекции  полного напряжения на координатные оси.

Если полные напряжения совпадают с главными напряжениями, то

можно записать соотношение между ними в виде

Здесь  s – главное напряжение, действующее на рассматриваемой площадке с нормалью .

Направляющие косинусы должны удовлетворять геометрическому соотношению, известному из аналитической геометрии

Уравнения (3) позволяют определить направляющие косинусы углов наклона нормали к площадке с определенным главным напряжением. Делается это последовательно по следующей методике.  Найдем, например,  направляющие косинусы       углов наклона нормали к площадке с главным напряжением        Подставим именно это значение главного нормального напряжения и соответствующие направляющие косинусы в соотношения (4). В правой части системы уравнений (3) вместо    направляющих косинусов общего вида подставим конкретные направляющие косинусы  для рассматриваемого напряжения ; в левой части системы уравнений (3) заменим измененными выражениями  (4). Тогда  уравнения системы (3) примут вид:

Преобразуя данную систему уравнений, получим:

Разделим все члены системы (7) на       (по условию ) и рассмотрим, например, первые два уравнения системы. Будем иметь

Очевидно, из системы двух уравнений можно найти два неизвестных отношения:     и ,    причем оставшиеся третье уравнение преобразованной системы (7) может служить проверкой выполненных вычислений.

Аналогично находим направляющие  косинусы     и   , соответствующие нормалям к площадкам с главными напряжениями .

Найденные направляющие косинусы    можно рассматривать как координаты некоторой точки  A. Эта точка принадлежит нормали     к соответствующей главной площадке с напряжением .  Графически можно построить параллелепипед, ребра которого равны найденным значениям направляющих косинусов  ,   а диагональ является отрезком прямой, совпадающей с нормалью     – см. рис. 2.

4. Определить главные деформации. (Подробно деформированное состояние рассматривается в лекции 2.)

Деформированное состояние в произвольной точке твердого тела определяется девятью компонентами деформаций, образующих тензор деформаций. Тензор деформаций записывается аналогично тензору напряжений, причем линейные деформации записываются аналогично  нормальным напряжениям, а угловые деформации – касательным напряжениям. Приняты обозначения деформаций:

(Здесь используется греческая  буква  , читается как «эпсилон».)

Существуют три взаимно перпендикулярных направления таких, что направленные по ним волокна только удлиняются или только укорачиваются (деформация сдвига при этом отсутствуют). Такие направления называются главными осями деформации, а соответствующие им удлинения (укорочения) – главными деформациями. Главные деформации и главные оси деформации находятся аналогично главным напряжениям и их направлениям.

По условию не задано деформированное состояние в рассматриваемой точке, поэтому главные деформации находим из соотношений обобщенного закона Гука

Для плоского напряженного состояния рассматривается тензор напряжений второго порядка, существует два главных напряжения:

Полученные величины необходимо переобозначить с учетом известной зависимости  . 

Если одно из найденных главных напряжений окажется положительным, а другое отрицательным, то обозначаем    и    соответственно. Если оба главных напряжения будут положительными (отрицательными), то их обозначают  и    (  и  )  соответственно.

Положение главных площадок определяется  формулой

где  – угол наклона нормали главной площадки к горизонтальной оси системы координат (оси х). В зависимости от того, какое из главных напряжений ( или ) подставляют в эту формулу, получают тангенс угла наклона нормали к площадке с главным напряжениям  или   .

Для плоского напряженного состояния можно нарисовать площадку главных напряжений, подобно изображенной на рис. 3.

 РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров, А.В. Сопротивление материалов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высш. шк., 2001. –  560 с. –  ISBN 5-06-003732-0

2. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности/А.В. Александров, В.Д. Потапов – 2-ое изд., испр. –  М.: Высш. шк., 2002. –  400 с. – ISBN 5-06-004280-4

3. Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности М.: Наука, 1984. –  320 с.